Transformada de laplace de una derivada

Constante de la transformada de Laplace

Veamos cómo se utiliza la transformada de Laplace para las ecuaciones diferenciales. Primero vamos a intentar encontrar la transformada de Laplace de una función que es una derivada. Supongamos que \(g(t)\Nes una función diferenciable de orden exponencial, es decir, \(|g(t)| \leq Me^{ct}\Npara algunos \N(M\N) y \N(c\N). Por lo tanto, existe (\mathcal{L}{g(t)\}}, y lo que es más, \lim_{t \rightarrow \infty}e^{-st}{g(t)=0\} cuando \(s>c). Entonces

Repetimos este procedimiento para las derivadas superiores. Los resultados se enumeran en la tabla (índice de página 1). El procedimiento también funciona para funciones suaves a trozos, es decir, funciones que son continuas a trozos con una derivada continua a trozos. El hecho de que la función sea de orden exponencial se utiliza para demostrar que los límites que aparecen arriba existen. No nos preocuparemos mucho por este hecho.

El procedimiento para las ecuaciones lineales de coeficiente constante es el siguiente. Tomamos una ecuación diferencial ordinaria en la variable temporal \(t\). Aplicamos la transformada de Laplace para transformar la ecuación en una ecuación algebraica (no diferencial) en el dominio de la frecuencia. Todas las ecuaciones \(x(t)\), \(x'(t)\), \(x”(t)\), y así sucesivamente, se convertirán en \(X(s)\), \(sX(s)-x(0)\), \(s^2X(s) – sx(0) – x'(0)\), y así sucesivamente. Resolvemos la ecuación para \(X(s)\Nla que se ha de resolver.) Luego, tomando la transformada inversa, si es posible, hallamos \(x(t)\Nla ecuación.)

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Transformada de Laplace de heaviside

(frecuencia compleja). La transformada tiene muchas aplicaciones en ciencia e ingeniería porque es una herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. En particular, transforma las ecuaciones diferenciales lineales en ecuaciones algebraicas y la convolución en multiplicación[1][2].

La transformada de Laplace debe su nombre al matemático y astrónomo Pierre-Simon Laplace, que utilizó una transformada similar en su trabajo sobre la teoría de la probabilidad[3]. Laplace escribió extensamente sobre el uso de las funciones generadoras en Essai philosophique sur les probabilités (1814), y la forma integral de la transformada de Laplace evolucionó naturalmente como resultado[4].

El uso que hizo Laplace de las funciones generadoras fue similar a lo que ahora se conoce como la transformada z, y prestó poca atención al caso de la variable continua, que fue discutido por Niels Henrik Abel[5]. La teoría fue desarrollada posteriormente en el siglo XIX y principios del XX por Mathias Lerch,[6] Oliver Heaviside,[7] y Thomas Bromwich[8].

El uso actual de la transformada (principalmente en ingeniería) se produjo durante y poco después de la Segunda Guerra Mundial,[9] sustituyendo al anterior cálculo operacional de Heaviside. Las ventajas de la transformada de Laplace habían sido destacadas por Gustav Doetsch,[10] a quien aparentemente se debe el nombre de Transformada de Laplace.

Transformada inversa de Laplace

Alrededor de 1785, Pierre-Simon marqués de Laplace, matemático y físico francés, fue pionero en un método para resolver ecuaciones diferenciales utilizando una transformada integral. Esta transformada de Laplace convierte las ecuaciones diferenciales en el tiempo en ecuaciones algebraicas en el dominio de Laplace, facilitando así su resolución.

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Pierre-Simon Laplace introdujo una forma más general del análisis de Fourier que se conoció como la transformada de Laplace.    Transforma una función en el dominio del tiempo, \(f(t)\), en el plano \(s\) tomando la integral de la función multiplicada por \(e^{-st}\) desde \(0^-\) hasta \(\infty\), donde \(s\) es un número complejo con la forma \(s=\sigma +j\omega\). Las coordenadas en el plano \(s\) utilizan ‘\(j\)’ para designar la componente imaginaria, para distinguirla de la ‘\(i\)’ utilizada en el plano complejo normal. [wiki]

El primer término llega a cero porque \(f(\infty)\) es finito, lo cual es una condición para la existencia de la transformada. En el segundo término, la exponencial va a uno y la integral es \(0\) porque los límites son iguales. El último término es simplemente la definición de la Transformada de Laplace sobre \(s\).

Calculadora de la transformada de Laplace

Parece que estás en un dispositivo con un ancho de pantalla “estrecho” (es decir, probablemente estás en un teléfono móvil). Debido a la naturaleza de las matemáticas en este sitio, es mejor verlas en modo horizontal. Si su dispositivo no está en modo apaisado, muchas de las ecuaciones se saldrán por el lado del dispositivo (debería poder desplazarse para verlas) y algunos de los elementos del menú quedarán cortados debido al estrecho ancho de la pantalla.

Realmente no hay mucho en esta sección. Todo lo que vamos a hacer aquí es trabajar un ejemplo rápido utilizando las transformadas de Laplace para una ecuación diferencial de 3er orden para que podamos decir que hemos trabajado al menos un problema para una ecuación diferencial cuyo orden era mayor que 2.

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Todo lo que sabemos del capítulo de las transformadas de Laplace sigue siendo válido. Lo único nuevo que necesitaremos aquí es la transformada de Laplace de la tercera derivada. Podemos obtenerla a partir de la fórmula general que dimos cuando empezamos a ver la resolución de PIV con transformadas de Laplace. Aquí está esa fórmula,

Se ha desplazado correctamente y podemos ver que estamos desplazando \ ({{bf{e}}^{ – 5t}}). Todo lo que tenemos que hacer ahora es tomar la transformada de Laplace de todo, enchufe en las condiciones iniciales y resolver para \(Y\left( s \right)\ ~). Haciendo todo esto da,

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