Lista de teoremas del límite
Contenidos
Aunque la función (sen x)/x no está definida en cero, a medida que x se acerca más y más a cero, (sen x)/x se acerca arbitrariamente a 1. En otras palabras, el límite de (sen x)/x, a medida que x se acerca a cero, es igual a 1.
Las definiciones formales, ideadas por primera vez a principios del siglo XIX, se dan a continuación. Informalmente, una función f asigna una salida f(x) a cada entrada x. Decimos que la función tiene un límite L en una entrada p, si f(x) se aproxima cada vez más a L a medida que x se acerca cada vez más a p. Más concretamente, cuando f se aplica a cualquier entrada suficientemente cercana a p, el valor de la salida se aproxima arbitrariamente a L. En cambio, si algunas entradas muy cercanas a p se llevan a salidas que se mantienen a una distancia fija, entonces decimos que el límite no existe.
La noción de límite tiene muchas aplicaciones en el cálculo moderno. En particular, las numerosas definiciones de continuidad emplean el concepto de límite: a grandes rasgos, una función es continua si todos sus límites coinciden con los valores de la función. El concepto de límite también aparece en la definición de la derivada: en el cálculo de una variable, es el valor límite de la pendiente de las rectas secantes a la gráfica de una función.
Hoja de trabajo de teoremas límite con respuestas
En la sección anterior, evaluamos los límites observando las gráficas o construyendo una tabla de valores. En esta sección, establecemos leyes para el cálculo de límites y aprendemos a aplicar estas leyes. En el Proyecto del Estudiante al final de esta sección, tienes la oportunidad de aplicar estas leyes de límites para derivar la fórmula del área de un círculo adaptando un método ideado por el matemático griego Arquímedes. Empezaremos repitiendo dos resultados útiles de la sección anterior. Estos dos resultados, junto con las leyes límite, sirven de base para calcular muchos límites.
Las dos primeras leyes límite se expusieron en Dos límites importantes y las repetimos aquí. Estos resultados básicos, junto con las demás leyes de los límites, nos permiten evaluar los límites de muchas funciones algebraicas.
Sean f(x)f(x) y g(x)g(x) definidos para todo x≠ax≠a sobre algún intervalo abierto que contenga a. Supongamos que L y M son números reales tales que limx→af(x)=Llimx→af(x)=L y limx→ag(x)=M.limx→ag(x)=M. Sea c una constante. Entonces, cada una de las siguientes afirmaciones se cumple:
Calculadora del teorema del límite
El Teorema Central del Límite nos dice que, a medida que aumenta el tamaño de las muestras, la distribución muestral de la media se distribuirá normalmente, aunque los datos de cada muestra no estén distribuidos normalmente.
Podemos ver esto en datos reales. Trabajemos con la variable AlcoholYear en la distribución de la NHANES, que está muy sesgada, como se muestra en el panel izquierdo de la figura ? Esta distribución es, a falta de una palabra mejor, extraña, y definitivamente no está distribuida normalmente. Veamos ahora la distribución muestral de la media de esta variable. La Figura 12.2 muestra la distribución de muestreo de esta variable, que se obtiene extrayendo repetidamente muestras de tamaño 50 del conjunto de datos NHANES y tomando la media. A pesar de la clara no normalidad de los datos originales, la distribución de muestreo se acerca notablemente a la normalidad.
Figura 12.2: Izquierda: Distribución de la variable AlcoholYear en el conjunto de datos NHANES, que refleja el número de días que el individuo bebió en un año. Derecha: La distribución muestral de la media de AlcoholYear en el conjunto de datos de la NHANES, obtenida al extraer muestras repetidas de tamaño 50, en azul. La distribución normal con la misma media y desviación estándar se muestra en rojo.
Teoremas de límite pdf
Así, el concepto de derivada constituye la solución general del problema de la construcción de tangentes a curvas planas, y del problema del cálculo de la velocidad de un movimiento rectilíneo. Estos dos problemas sirvieron de motivación principal para formular el concepto de derivada.
es continua en este punto. Una función continua no necesita tener una derivada finita ni infinita. Existen funciones continuas que no tienen derivada en ningún punto de su dominio de definición.
si y sólo si existen derivadas iguales a la derecha y a la izquierda en ese punto. Si la función es continua, la existencia de una derivada a la derecha (a la izquierda) en un punto equivale a la existencia, en el punto correspondiente de su gráfica, de una semitangente a la derecha (a la izquierda) con pendiente igual al valor de esta derivada a la derecha. Los puntos en los que las semitangentes no forman una línea recta se denominan puntos angulares o cúspides (véase la Fig. c).
en este punto. Una función para la que existe una diferencial se llama diferenciable en el punto en cuestión. Así, la diferenciabilidad de una función implica la existencia tanto de la diferencial como de la derivada finita, y $ dy = df ( x) = f ^ { \prime } ( x) \Delta x $.