Problemas de práctica de la suma de Riemann pdf
Contenidos
Sea \(f\left( x \right)\Nuna función continua y no negativa definida en el intervalo cerrado \(\left[ {a,b} \right].\N-Cómo hallar el área de la región \N(S\) limitada por la curva \N(y = f\left( x \right),\Nel eje \Nde la x, y las rectas verticales \N(x = a\) y \N(x = b…)
Utilizamos la partición \(P\) para dividir la región \(S\) en franjas \({S_1},{S_2}, \ldots ,{S_n}. \A continuación, aproximamos las franjas \({S_i}) utilizando rectángulos \({R_i}) y eligiendo un punto de muestra \({\xi _i}) en cada subintervalo \(\ft[{x_{i – 1}},{x_i}{right].\)
\N – [A \Napprox \N de la suma de los límites_i = 1}^n {{A_i}} = \N de la suma de los límites_i = 1}^n {fleft( {{xi _i}} \Nright)\Ndelta {x_i}} = f\Nleft( {{xi _1}} \Nright)\Ndelta {x_1} + f\left( {{xi _2}} \ right)\Delta {x_2} + \cdots + f\left( {{xi _n}} \right)\Delta {x_n}.\c]
La suma \ {{sum\\i = 1}^n {f\left( {{xi _i}} \right)\Delta {x_i}} \) se llama la suma de Riemann, que fue introducida por Bernhard Riemann (izquierda (1826 – 1866), un matemático alemán.
Hay varios tipos de sumas de Riemann. La suma de Riemann izquierda utiliza los puntos extremos izquierdos de los subintervalos. La suma de Riemann derecha utiliza los puntos finales de la derecha, y la suma de Riemann del punto medio se calcula utilizando los puntos medios de los subintervalos.
Prueba de la suma de Riemann
Como la región bajo la curva tiene una forma tan extraña, calcular su área es demasiado difícil. Pero calcular el área de los rectángulos es sencillo. Simplifiquemos nuestra vida fingiendo que la región está compuesta por un montón de rectángulos. Para convertir la región en rectángulos, utilizaremos una estrategia similar a la que utilizamos para usar Forward Euler para resolver ecuaciones diferenciales en tiempo puro.
Para enfatizar esta correspondencia entre la aproximación de Forward Euler y la suma de Riemann izquierda para el área, hicimos los applets de Forward Euler y los applets de área de forma similar. Para los applets de área, utilizamos rectángulos para estimar la integral definida $\int_a^bf(t)dt$. Pero si se reetiquetan algunas variables, entonces el cálculo es esencialmente el mismo que el cálculo de Euler en adelante. A continuación, hemos hecho un applet que puedes transformar entre el caso de cálculo del área y el caso de Forward Euler que esperamos que deje claro el paralelismo.
Al utilizar las sumas de Riemann para calcular el área, las fórmulas matemáticas siguen teniendo sentido aunque $f$ sea negativo. Los valores negativos no deberían ser un problema, ya que hemos demostrado que el cálculo es el mismo que utilizando Forward Euler. Al trabajar con Forward Euler, tener una función negativa no era un problema.
Preguntas y respuestas sobre la suma de Riemann
En el apartado anterior definimos la integral definida de una función en [a,b] como el área con signo entre la curva y el eje x. Algunas áreas eran sencillas de calcular; terminamos la sección con una región cuya área no era sencilla de calcular. En esta sección desarrollamos una técnica para encontrar dichas áreas.
Hay tres formas comunes de determinar la altura de estos rectángulos: la regla de la mano izquierda, la regla de la mano derecha y la regla del punto medio. La Regla de la Mano Izquierda dice que hay que evaluar la función en el punto final izquierdo del subintervalo y hacer el rectángulo de esa altura. En la figura 5.3.2, el rectángulo dibujado en el intervalo [2,3] tiene una altura determinada por la regla de la mano izquierda; tiene una altura de f(2). (El rectángulo está etiquetado como “LHR”.)
La regla de la mano derecha dice lo contrario: en cada subintervalo, se evalúa la función en el punto final de la derecha y se hace el rectángulo de esa altura. En la figura, el rectángulo dibujado en [0,1] se dibuja usando f(1) como su altura; este rectángulo está etiquetado como “RHR”.
La regla del punto medio dice que en cada subintervalo se evalúa la función en el punto medio y se hace el rectángulo de esa altura. El rectángulo dibujado en [1,2] fue hecho usando la Regla del Punto Medio, con una altura de f(1.5). Ese rectángulo está etiquetado como “MPR”.
Fórmula de la suma de Riemann
Sea \(\displaystyle L_n\) la suma del punto final de la izquierda utilizando n subintervalos y sea \(\displaystyle R_n\) la correspondiente suma del punto final de la derecha. En los siguientes ejercicios, calcule las sumas izquierda y derecha indicadas para las funciones dadas en el intervalo indicado.
20) Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha – \(\displaystyle L_4\) y \(\displaystyle R_4\), respectivamente- para \(\displaystyle f(x)=(2-|x|)\) en \(\displaystyle [-2,2].\) Calcule su valor medio y compárelo con el área bajo la gráfica de f.
21) Calcula las sumas de Riemann izquierda y derecha – \(\displaystyle L_6\) y \(\displaystyle R_6\), respectivamente- para \(\displaystyle f(x)=(3-|3-x|)\) en \(\displaystyle [0,6].\) Calcula su valor medio y compáralo con el área bajo la gráfica de f.
22) Calcula las sumas de Riemann izquierda y derecha – \(\displaystyle L_4) y \(\displaystyle R_4), respectivamente- para \(\displaystyle f(x)=\sqrt{4-x^2}) en \(\displaystyle [-2,2]\) y compara sus valores.
23) Calcule las sumas de Riemann izquierda y derecha – \(\displaystyle L_6) y \(\displaystyle R_6), respectivamente- para \(\displaystyle f(x)=\cadrado{9-(x-3)^2}) en \(\displaystyle [0,6]\) y compare sus valores.