Introducción a los números complejos
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La notación más útil para los números complejos es la de la forma a + i b. Normalmente, cuando una expresión contiene un símbolo de suma, podemos combinar los dos operandos en un solo número, pero en el caso de un número complejo, esto es lo más sencillo que podemos conseguir y, por tanto, el símbolo más sigue formando parte del número complejo. No podemos combinar las dos partes del número complejo porque representan cosas diferentes, la parte real y la parte imaginaria. En términos geométricos, podemos considerar que las partes real e imaginaria están a 90º la una de la otra. Si una de las partes es cero, no es necesario incluirla y, en este caso, podemos omitir el “+”, pero incluso en este caso solemos dejar el 0 y el “+” en la expresión para mayor claridad.
Los números complejos son bidimensionales ya que contienen dos valores escalares y pueden representar puntos en un espacio vectorial 2D. Son similares a los vectores 2D, pero con reglas de multiplicación diferentes. A diferencia de la multiplicación vectorial, los números complejos tienen las siguientes propiedades:
Identidades de los números complejos
“Piensa en Adán y Eva como en un número imaginario, como la raíz cuadrada de menos uno: nunca puedes ver ninguna prueba concreta de que existe, pero si lo incluyes en tus ecuaciones, puedes calcular todo tipo de cosas que no podrían imaginarse sin él”. Philip Pullman, La brújula dorada
Los números complejos son utilizados por los ingenieros eléctricos y electrónicos para definir el concepto de corriente alterna o CA de la impedancia, y en el análisis de Fourier se utilizan en el procesamiento de señales de radio, teléfono y vídeo.
Los ingenieros mecánicos y estructurales utilizan los números complejos para analizar las vibraciones de las estructuras de las máquinas, los edificios y los puentes, el comportamiento del flujo de fluidos alrededor de los aviones y el del viento alrededor de los edificios y los puentes, evitando fallos como el del puente Tacoma Narrows (vea el siguiente vídeo).
Las máquinas y las estructuras, como los puentes o los edificios, suelen estar sometidas a cargas o fuerzas variables que provocan el movimiento, o el desplazamiento, de un punto de la máquina o de la estructura que puede causar vibraciones.
Multiplicación de números complejos
Un número complejo puede representarse visualmente como un par de números (a, b) que forman un vector en un diagrama llamado diagrama de Argand, que representa el plano complejo. Re es el eje real, Im es el eje imaginario, e i es la “unidad imaginaria”, que satisface i2 = -1.
En matemáticas, un número complejo es un elemento de un sistema numérico que contiene los números reales y un elemento específico denominado i, llamado unidad imaginaria, y que satisface la ecuación i2 = -1. Además, todo número complejo puede expresarse en la forma a + bi, donde a y b son números reales. Dado que ningún número real satisface la ecuación anterior, René Descartes llamó a i número imaginario. Para el número complejo a + bi, a se llama la parte real y b la parte imaginaria. El conjunto de los números complejos se denota por cualquiera de los símbolos
o C. A pesar de la nomenclatura histórica “imaginario”, los números complejos se consideran en las ciencias matemáticas tan “reales” como los números reales y son fundamentales en muchos aspectos de la descripción científica del mundo natural[1][a].
Aplicación de los números complejos pdf
Siempre he disfrutado resolviendo problemas con los números complejos durante mi licenciatura. Sin embargo, siempre me he preguntado dónde se utilizan y para qué. En mi campo (la informática) rara vez he visto su uso/aplicación y por eso tengo curiosidad.
Cuando le pregunté a mi profesor sobre esto, me dijo que “la gente de la ingeniería mecánica y aeroespacial lo utiliza mucho”, pero ¿para qué? (¿No lo utilizan también otros ámbitos?). Soy consciente de su uso en el análisis de Fourier, pero eso es lo más lejos que llegué a una “aplicación en el mundo real”. Estoy seguro de que no es eso.
P.D.: No estoy buscando la capacidad de hacer un problema más fácil de resolver, sino un panorama más amplio en el que el resultado del análisis complejo se utilice para algo significativo en el mundo real. Una analogía ingenua es decidir la altura de una torre basándose en la trigonometría. Eso es pasar del papel al mundo real. Del mismo modo, ¿qué es lo que se analiza en el mundo complejo y el resultado se utiliza en el mundo real sin que los imaginarios enturbien el problema?
La pregunta: Resultados interesantes que se obtienen fácilmente utilizando números complejos es agradable, pero abarca una perspectiva más matemática de los resultados provisionales que facilitan la resolución de un problema. Cubre un terreno diferente, en mi opinión.