Limites laterales calculo diferencial

Matemáticas de límites

Empezaré dándote una definición de límite para que entiendas el concepto y luego seguiremos con la resolución de límites sencillos para que lo entiendas todo perfectamente. Esta es la base desde la que puedes aprender a resolver límites más complejos con indeterminaciones.

Lo que significa, como te acabo de decir, que cuando X tiende al punto Xo, el valor de la función se aproxima a L, por lo tanto, el límite de esa función cuando X tiende a Xo es L. Gráficamente quedaría así:

Para que entiendas cómo el valor de la función se acercará a un determinado valor, mientras x tienda a -1, veremos cuál es el valor de la función para los puntos que se acercan a -1 y cada vez nos acercaremos más a -1.

En los casos en que el dominio de la función es todo R (la función es continua en todo R), como los polinomios, el límite de la función en un punto se calculará igual que el valor de la función en ese punto, es decir, sustituyendo el valor por x.

En las funciones que no son continuas (el dominio no es todo R), hay puntos en los que el límite tiene un valor y sin embargo la función en ese punto no existe o el valor de la función tiene un valor diferente.

Límite de la función exponencial

Empezaré dándote una definición de límite para que entiendas el concepto y luego seguiremos con la resolución de límites sencillos para que lo entiendas todo perfectamente. Esta es la base desde la que puedes aprender a resolver límites más complejos con indeterminaciones.

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Lo que significa, como te acabo de decir, que cuando X tiende al punto Xo, el valor de la función se aproxima a L, por lo tanto, el límite de esa función cuando X tiende a Xo es L. Gráficamente quedaría así:

Para que entiendas cómo el valor de la función se acercará a un determinado valor, mientras x tienda a -1, veremos cuál es el valor de la función para los puntos que se acercan a -1 y cada vez nos acercaremos más a -1.

En los casos en que el dominio de la función es todo R (la función es continua en todo R), como los polinomios, el límite de la función en un punto se calculará igual que el valor de la función en ese punto, es decir, sustituyendo el valor por x.

En las funciones que no son continuas (el dominio no es todo R), hay puntos en los que el límite tiene un valor y sin embargo la función en ese punto no existe o el valor de la función tiene un valor diferente.

Calculadora de límites

Hemos introducido suavemente el concepto de límite, aproximando sus valores gráfica y numéricamente. A continuación, la definición rigurosa del límite, junto con un método ciertamente tedioso para evaluarlos. La sección anterior nos dio herramientas (que llamamos teoremas) que nos permiten calcular límites con mayor facilidad. Entre los resultados más importantes se encuentra el hecho de que los polinomios y las funciones racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas (y sus sumas, productos, etc.) se comportan “bien”. En esta sección definimos rigurosamente lo que entendemos por “agradable”.

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En esta sección exploramos en profundidad los conceptos que hay detrás de #1 introduciendo el límite unilateral. Comenzamos con definiciones formales que son muy similares a la definición del límite dada en la Sección 1.2, pero la notación es ligeramente diferente y “\(x\neq c\)” se sustituye por “\(x<c\)” o “\(x>c\)”.

Sea \(I\) un intervalo abierto que contiene a \(c\), y sea \(f\) una función definida en \(I\), excepto posiblemente en \(c\). El límite de \(f(x)\Na medida que \Nx se acerca a \Nc desde la izquierda, es \Nlímite izquierdo de \Nf en \Nc es \Nlímite izquierdo, denotado por

Existencia de límites unilaterales

En esta sección exploramos en profundidad los conceptos que hay detrás de #1 introduciendo el límite unilateral. Comenzamos con definiciones formales que son muy similares a la definición del límite dada en la sección 1.2, pero la notación es ligeramente diferente y “x≠c” se sustituye por “x<c” o “x>c”. Consideraremos #2 con más detalle en la sección 1.5.

En la práctica, cuando se evalúa un límite izquierdo, sólo se consideran los valores de x “a la izquierda de c”, es decir, cuando x<c. La notación, ciertamente imperfecta, x→c- se utiliza para implicar que consideramos los valores de x a la izquierda de c. La notación no tiene nada que ver con los valores positivos o negativos de x o c. Una afirmación similar es válida para la evaluación de los límites de la derecha; allí consideramos sólo los valores de x a la derecha de c, es decir, x>c. Podemos utilizar los teoremas de las secciones anteriores para ayudarnos a evaluar estos límites; simplemente restringimos nuestra visión a un lado de c.

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Observa cómo los límites de la izquierda y de la derecha son diferentes en x=1. Esto, por supuesto, hace que el límite no exista. El siguiente teorema afirma lo que es bastante intuitivo: el límite existe precisamente cuando los límites izquierdo y derecho son iguales.

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