Formulas del calculo diferencial

Fórmulas y teoremas de cálculo

El cálculo diferencial estudia la tasa de cambio de dos cantidades. El cálculo puede dividirse en dos partes: el cálculo diferencial y el cálculo integral. En el cálculo diferencial, la ecuación de la derivada se utiliza para describir la tasa de cambio de una función, mientras que en el cálculo integral se estudia el área bajo una curva.

Uno de los principales usos del cálculo diferencial es encontrar el valor mínimo o máximo de una función dada como parte de un problema de optimización. En este artículo, aprenderemos más sobre el cálculo diferencial, las fórmulas importantes y varios ejemplos asociados.

El cálculo diferencial implica encontrar la derivada de una función mediante el proceso de diferenciación. La derivada de una función en un valor particular dará la tasa de cambio de la función cerca de ese valor. Una derivada se utiliza para medir la pendiente de una tangente a la gráfica de una función.

El cálculo diferencial es el estudio de la tasa de cambio de una cantidad dependiente con respecto a un cambio en una cantidad independiente. Por ejemplo, la velocidad de un objeto en movimiento puede interpretarse como la tasa de cambio de la distancia con respecto al tiempo. Si y = f(x) es la función que se diferencia, entonces, según el cálculo diferencial, la notación viene dada como f'(x) = dy / dx. A continuación se enumeran algunos términos importantes relacionados con el cálculo diferencial:

Fórmulas de cálculo diferencial pdf

Considerando el interés, sabemos que cada año el saldo aumentará un 2%, pero ¿el 2% de qué? Cada año cambiará, ya que ganamos intereses sobre el saldo actual. Podemos representar la cantidad de aumento como el 2% del saldo: \ ( 0,02B(t) \N) dólares/año.

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El resultado es un ejemplo de ecuación diferencial. Observe que esta ecuación en particular involucra tanto la derivada como la función original, y por lo tanto no podemos simplemente encontrar \( B(t) \) usando la integración básica.

Las ecuaciones algebraicas contienen constantes y variables, y las soluciones de una ecuación algebraica suelen ser números. Por ejemplo, \(x = 3\) y \(x = -2\) son soluciones de la ecuación algebraica \(x^2 = x + 6\). Las ecuaciones diferenciales contienen derivadas o diferenciales de funciones. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales son funciones. La ecuación diferencial \(y’ = 3x^2\) tiene infinitas soluciones, y dos de esas soluciones son las funciones \(y = x^3 + 2\) y \(y = x^3 – 4\).

Ya has resuelto muchas ecuaciones diferenciales: cada vez que encontrabas una antiderivada de una función \(f(x)\), resolvías la ecuación diferencial \(y’ = f(x)\) para obtener una solución \(y\). La ecuación diferencial \(y’ = f(x)\), sin embargo, es sólo el principio. Otras aplicaciones generan diferentes ecuaciones diferenciales, como en el ejemplo del saldo bancario anterior.

Fórmulas de cálculo diferencial e integral pdf

El cálculo es la matemática del cambio, y las tasas de cambio se expresan mediante derivadas. Por lo tanto, una de las formas más comunes de utilizar el cálculo es plantear una ecuación que contenga una función desconocida (y=f(x)\Ny su derivada, conocida como ecuación diferencial. La resolución de este tipo de ecuaciones suele proporcionar información sobre cómo cambian las cantidades y, con frecuencia, permite entender cómo y por qué se producen los cambios.

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Las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales pueden adoptar muchas formas diferentes, incluyendo la solución directa, el uso de gráficos o los cálculos por ordenador. Presentamos las ideas principales en este capítulo y las describimos con un poco más de detalle más adelante en el curso. En esta sección estudiamos qué son las ecuaciones diferenciales, cómo verificar sus soluciones, algunos métodos que se utilizan para resolverlas y algunos ejemplos de ecuaciones comunes y útiles.

Consideremos la ecuación \(y′=3x^2,\) que es un ejemplo de ecuación diferencial porque incluye una derivada. Existe una relación entre las variables \(x\) y \(y:y\) es una función desconocida de \(x\). Además, el lado izquierdo de la ecuación es la derivada de \(y\). Por lo tanto, podemos interpretar esta ecuación como sigue: Partimos de alguna función \(y=f(x)\Ny tomamos su derivada. La respuesta debe ser igual a \(3x^2\). ¿Qué función tiene una derivada que es igual a \(3x^2\)? Una de estas funciones es \(y=x^3\), por lo que esta función se considera una solución de una ecuación diferencial.

Fórmulas de cálculo diferencial para las matemáticas de la ingeniería

En matemáticas, el cálculo diferencial es un subcampo del cálculo que estudia las tasas de cambio de las cantidades[1]. Es una de las dos divisiones tradicionales del cálculo, la otra es el cálculo integral, el estudio del área bajo una curva[2].

Los principales objetos de estudio del cálculo diferencial son la derivada de una función, nociones relacionadas como la diferencial y sus aplicaciones. La derivada de una función en un valor de entrada elegido describe la tasa de cambio de la función cerca de ese valor de entrada. El proceso de encontrar una derivada se llama diferenciación. Geométricamente, la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, siempre que la derivada exista y esté definida en ese punto. Para una función de valor real de una sola variable real, la derivada de una función en un punto determina generalmente la mejor aproximación lineal a la función en ese punto.

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La derivación tiene aplicaciones en casi todas las disciplinas cuantitativas. En física, la derivada del desplazamiento de un cuerpo en movimiento con respecto al tiempo es la velocidad del cuerpo, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración. La derivada del momento de un cuerpo con respecto al tiempo es igual a la fuerza aplicada al cuerpo; reordenando este enunciado de la derivada se obtiene la famosa ecuación F = ma asociada a la segunda ley del movimiento de Newton. La velocidad de una reacción química es una derivada. En la investigación de operaciones, las derivadas determinan las formas más eficientes de transportar materiales y diseñar fábricas.

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