Ecuaciones diferenciales homogeneas ejercicios resueltos

Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas

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Al igual que con las ecuaciones diferenciales de segundo orden, no podemos resolver una ecuación diferencial no homogénea a menos que podamos resolver primero la ecuación diferencial homogénea. También tendremos que limitarnos a las ecuaciones diferenciales de coeficiente constante, ya que la resolución de ecuaciones diferenciales de coeficiente no constante es bastante difícil, por lo que no las trataremos aquí. Del mismo modo, sólo veremos las ecuaciones diferenciales lineales.

Ahora, supongamos que las soluciones a esta ecuación diferencial será en la forma \ ~(y\left( t \right) = {\bf{e}^{r\,t}}) y enchufe esto en la ecuación diferencial y con un poco de simplificación que obtenemos,

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden pdf

Para cada uno de los siguientes problemas, verifique que la función dada es una solución de la ecuación diferencial. Utiliza una utilidad gráfica para graficar las soluciones particulares para varios valores de c1 y c2. ¿Qué tienen en común las soluciones?

(Principio de superposición) Demuestre que si y1(x)y1(x) e y2(x)y2(x) son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea, y”+p(x)y′+q(x)y=0, y″+p(x)y′+q(x)y=0, entonces la función y(x)=c1y1(x)+c2y2(x),y(x)=c1y1(x)+c2y2(x), donde c1c1 y c2c2 son constantes, también es una solución.

Demuestre que si a, b y c son constantes positivas, entonces todas las soluciones de la ecuación diferencial lineal de segundo orden ay”+by′+cy=0ay″+by′+cy=0 se aproximan a cero a medida que x→∞.x→∞. (Sugerencia: considere tres casos: dos raíces distintas, raíces reales repetidas y raíces complejas conjugadas).

En cada uno de los siguientes problemas, se dan dos soluciones linealmente independientes -(y_1\) y \_2\) – que satisfacen la ecuación homogénea correspondiente. Utilice el método de variación de parámetros para encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea dada. Suponga que x > 0 en cada ejercicio.

Solucionador de ecuaciones diferenciales homogéneas

se convierte en una ecuación separable moviendo el origen del sistema de coordenadas al punto de intersección de las rectas dadas. Si estas rectas son paralelas, la ecuación diferencial se transforma en ecuación separable utilizando el cambio de variable:

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Es fácil ver que los polinomios \(P\left( {x,y} \right)\N y \(Q\left( {x,y} \right),\N respectivamente, en \N(dx\) y \N(dy,\N) son funciones homogéneas de primer orden. Por lo tanto, la ecuación diferencial original también es homogénea.

\N-[int {\frac{{du}} {{u\left( {\ln u – 1} \right)}} = \int {\frac{{dx}}{x}} \N – Flecha derecha \N -int {{frac} {{izquierda( {ln u} {derecha)}} {{ln u – 1}} = \int {{frac} {{x}} {x} .\N – Flecha derecha \N -int {\frac( {ln u – 1} \ derecha)}{{ln u – 1}} = \int {\frac{dx}{x}} .\]

\[\ln\left| {\ln u – 1} \N – derecha = \ln \ln izquierda| x \ln derecha| + \ln {C_1},\; \ln flecha derecha \ln izquierda| {\ln u – 1} \right| = \ln \left| {{C_1}x} \right|,\\\\️; \rightarrow \ln u – 1 = \pm {C_1}x,\️; \rightarrow \ln u = 1 \pm {C_1}x;\️; \text{or};\️;u = {e^{1 \pm {C_1}x}.\️]

Método de solución de una ecuación diferencial homogénea

Proceso de resolución de un problema de valor inicial para una ecuación diferencial homogénea de segundo ordenYa hemos aprendido a encontrar la solución general de una ecuación diferencial homogénea de segundo orden.

Aunque hemos introducido las raíces de la ecuación diferencial, las constantes “c_1” y “c_2” permanecen en la solución general. En un problema de valor inicial de ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden, normalmente se nos dará una condición inicial para la solución general y una segunda condición inicial para la derivada de la solución general. Aplicaremos la primera condición inicial a la solución general para obtener una ecuación simple en términos de “c_1” y “c_2”. Luego tomaremos la derivada de la solución general para poder aplicar la segunda condición inicial a la derivada. Una vez que tenemos dos ecuaciones en términos de “c_1” y “c_2”, podemos resolverlas como un sistema de ecuaciones lineales, encontrar los valores de “c_1” y “c_2” y volver a introducir estos valores en la solución general.    Resolución de un problema de valor inicial de ecuación diferencial homogénea de segundo orden (con raíces reales distintas)

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