Definicion de teoria de conjuntos

Matemáticas de conjuntos

La historia de la teoría de conjuntos es bastante diferente a la de la mayoría de las demás áreas de las matemáticas. En la mayoría de las áreas se puede trazar un largo proceso en el que las ideas evolucionan hasta que un último destello de inspiración, a menudo realizado por varios matemáticos casi simultáneamente, produce un descubrimiento de gran importancia.

Sin embargo, la teoría de conjuntos es bastante diferente. Es la creación de una persona, Georg Cantor. Antes de abordar la historia principal del desarrollo de la teoría por parte de Cantor, examinaremos primero algunas de las primeras contribuciones.

La idea del infinito había sido objeto de profundas reflexiones desde la época de los griegos. Zenón de Elea, en torno al 450 a.C., con sus problemas sobre el infinito, hizo una importante contribución temprana. En la Edad Media, la discusión sobre el infinito condujo a la comparación de conjuntos infinitos. Por ejemplo, Alberto de Sajonia, en Questiones subtilissime in libros de celo et mundi Ⓣ (Cuestiones delicadas en los libros del cielo y de la tierra), demuestra que una viga de longitud infinita tiene el mismo volumen que un espacio de tres. Lo demuestra cortando la viga en trozos imaginarios que luego ensambla en sucesivas envolturas concéntricas que llenan el espacio.

Símbolos de la teoría de conjuntos

Me he dado cuenta de que muchas otras definiciones empiezan con un conjunto y luego con algo. Un grupo es un conjunto con una operación, una relación de equivalencia es un conjunto, una función puede considerarse un conjunto, incluso los números naturales pueden definirse como conjuntos de otros conjuntos que contienen el conjunto vacío.

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Por lo poco que he podido entender, parece que un conjunto es “cualquier cosa” que satisfaga los axiomas de la teoría de conjuntos. No basta con decir que un conjunto es cualquier colección de elementos debido a varias paradojas. Así que, por ejemplo, ¿es una definición correcta decir que un conjunto es cualquier cosa que satisfaga la lista de axiomas de ZFC?

Formalmente, los conjuntos son atómicos en matemáticas.1 No tienen definición. Sólo son “objetos básicos”. Se puede intentar definir un conjunto como un objeto en el universo de una teoría designada como “teoría de conjuntos”. Esto reduce la definición a lo que llamamos “teoría de conjuntos”, y esto ya no es realmente una definición matemática.

Y cuando volvemos a entornos formales, como $\sf ZF,NBG,ETCS,NF$2 u otras teorías de conjuntos, intentamos formalizar las propiedades que esperamos que tengan los conjuntos. Estas pueden incluir, por ejemplo, la existencia de conjuntos de potencia, o varios esquemas de comprensión. Pero ninguno de ellos es particularmente canónico al significado de “conjunto”.

Diferencias en la teoría de conjuntos

Este artículo trata de lo que los matemáticos llaman teoría de conjuntos “intuitiva” o “ingenua”. Para una explicación más detallada, véase Teoría de conjuntos ingenua. Para un tratamiento axiomático moderno y riguroso de los conjuntos, véase Teoría de conjuntos.

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En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos[1][2][3] Los elementos que componen un conjunto pueden ser cualquier tipo de objeto matemático: números, símbolos, puntos en el espacio, líneas, otras formas geométricas, variables o incluso otros conjuntos[4] El conjunto sin ningún elemento es el conjunto vacío; un conjunto con un solo elemento es un singleton. Un conjunto puede tener un número finito de elementos o ser un conjunto infinito. Dos conjuntos son iguales si tienen precisamente los mismos elementos[5].

Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. De hecho, la teoría de conjuntos, más concretamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ha sido la forma estándar de proporcionar fundamentos rigurosos para todas las ramas de las matemáticas desde la primera mitad del siglo XX[4].

Cuando los matemáticos se ocupan de lo que llaman colector, agregado, Menge, conjunto, o algún nombre equivalente, es común, especialmente cuando el número de términos implicados es finito, considerar el objeto en cuestión (que es de hecho una clase) como definido por la enumeración de sus términos, y como constituido posiblemente por un solo término, que en ese caso es la clase.

Definición de conjunto español

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que investiga los conjuntos y sus propiedades. Los conceptos básicos de la teoría de conjuntos son bastante fáciles de entender y parecen evidentes. Sin embargo, a pesar de su aparente simplicidad, la teoría de conjuntos resulta ser un tema muy sofisticado. En particular, los matemáticos han demostrado que prácticamente todos los conceptos y resultados matemáticos pueden formalizarse dentro de la teoría de conjuntos. Esto se considera uno de los mayores logros de las matemáticas modernas. Teniendo en cuenta este logro, se puede afirmar que la teoría de conjuntos proporciona una base para las matemáticas.

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El papel fundacional de la teoría de conjuntos y su desarrollo matemático han planteado muchas cuestiones filosóficas que se han debatido desde su creación a finales del siglo XIX. Por ejemplo, he aquí tres: ¿Existe el infinito y, si es así, hay diferentes tipos de infinito? ¿Existe un universo matemático? ¿Se pueden resolver todos los problemas matemáticos?

Antes de abordar las cuestiones filosóficas relativas a la teoría de conjuntos, hay que conocer un desarrollo matemático estándar de la teoría de conjuntos. Este artículo presenta dicho desarrollo. Un artículo complementario aborda las cuestiones filosóficas que plantea la teoría de conjuntos y su desarrollo.

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