Algebra lineal espacios vectoriales

Espacio vectorial de dimensión infinita

Para kk un campo o un anillo de división, un espacio vectorial sobre kk (o un espacio vectorial kk) es un módulo sobre el anillo kk. Cuando el espacio vectorial es fijo, sus elementos se denominan vectores, el campo kk se denomina campo base del campo terreno del espacio vectorial, y los elementos de kk se denominan escalares.

A veces, un espacio vectorial sobre kk se denomina espacio kk-lineal. (Compárese con “mapa kk-lineal”.) Si kk es sólo un anillo de división, entonces distinguimos cuidadosamente los espacios vectoriales kk izquierdos y los espacios vectoriales kk derechos.

Alternativamente, a veces se define “espacio vectorial” como una noción de dos ordenaciones; tomando el campo kk como una de las ordenaciones y un módulo sobre kk como la otra. De forma más general, la noción de “módulo” también puede considerarse como de dos tipos, con un anillo y un módulo sobre ese anillo.

Esto es conveniente en ocasiones; por ejemplo, se puede definir la noción de espacio vectorial topológico o módulo topológico como una internalización en TopTop de la noción de multiordenación. Este procedimiento es totalmente sencillo para los módulos topológicos, ya que la noción de módulo puede venir dada por una teoría de Lawvere de dos ordenamientos TT, por lo que un módulo topológico (por ejemplo) no es más que un functor de preservación de productos T→TopT \to Top. Se puede entonces definir un espacio vectorial topológico como un módulo topológico cuyo anillo subyacente (discretizado) es un campo.

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Definición de espacio vectorial

Un subespacio es un espacio vectorial que está contenido en otro espacio vectorial. Por tanto, todo subespacio es un espacio vectorial por derecho propio, pero también está definido en relación con algún otro espacio vectorial (más grande). En breve descubriremos que ya estamos familiarizados con una gran variedad de subespacios gracias a las secciones anteriores.

En el ejemplo SC3 pasamos por las diez propiedades de los espacios vectoriales antes de creer que un subconjunto era un subespacio. Pero seis de las propiedades fueron fáciles de demostrar, y podemos apoyarnos en algunas de las propiedades del espacio vectorial (el superconjunto) para hacer más fáciles las otras cuatro. He aquí un teorema que facilitará la comprobación de si un subconjunto es un espacio vectorial. Un atajo, si es que alguna vez lo hubo.

Quizá quieras volver a trabajar en el ejemplo SC3 a la luz de este resultado, quizás viendo dónde podemos ahora economizar o dónde el trabajo realizado en el ejemplo reflejaba la prueba y dónde no. Seguiremos adelante y aplicaremos este teorema en un entorno ligeramente más abstracto.

Puede ser igual de instructivo considerar algunos subconjuntos que no son subespacios. Dado que el teorema TSS es una equivalencia (véase la técnica de demostración E) podemos estar seguros de que un subconjunto no es un subespacio si viola una de las tres condiciones, y en cualquier ejemplo de interés ésta no será la condición de “no vacío”. Sin embargo, dado que un subespacio tiene que ser un espacio vectorial por derecho propio, también podemos buscar una violación de cualquiera de las diez propiedades definitorias de la definición VS o de cualquier propiedad inherente a un espacio vectorial, como las que dan los teoremas básicos de la subsección VS.VSP. Obsérvese también que una violación sólo tiene que ser para un vector o par de vectores específico.

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Ejemplos de subespacios lineales

En esta conferencia, el profesor habló de los valores y vectores propios de los operadores hermitianos que actúan sobre espacios vectoriales complejos, productos internos sobre un espacio vectorial, etc. Más cursos en http://ocw.mit.edu

El siguiente contenido se ofrece bajo una licencia Creative Commons. Su apoyo ayudará al MIT OpenCourseWare a seguir ofreciendo recursos educativos de alta calidad de forma gratuita. Para hacer una donación o para ver materiales adicionales de cientos de cursos del MIT, visite MIT OpenCourseWare ocw.mit.edu. PROFESOR: Bien, empecemos. Sólo quería hacer un anuncio antes de empezar la conferencia. Así que el prof.

Dimensión del espacio vectorial

En matemáticas, física e ingeniería, un espacio vectorial (también llamado espacio lineal) es un conjunto de objetos llamados vectores, que pueden sumarse y multiplicarse (“escalarse”) por números llamados escalares. Los escalares suelen ser números reales, pero algunos espacios vectoriales tienen multiplicación escalar por números complejos o, en general, por un escalar de cualquier campo matemático. Las operaciones de suma de vectores y multiplicación de escalares deben satisfacer ciertos requisitos, llamados axiomas vectoriales (enumerados más adelante en § Notación y definición). Para especificar si los escalares de un determinado espacio vectorial son números reales o complejos, se suelen utilizar los términos espacio vectorial real y espacio vectorial complejo.

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Algunos conjuntos de vectores euclidianos son ejemplos comunes de un espacio vectorial. Representan magnitudes físicas como las fuerzas, en las que dos fuerzas del mismo tipo pueden sumarse para obtener una tercera, y la multiplicación de un vector de fuerza por un multiplicador real es otro vector de fuerza. Del mismo modo (pero en un sentido más geométrico), los vectores que representan desplazamientos en el plano o en el espacio tridimensional también forman espacios vectoriales. Los vectores de los espacios vectoriales no tienen por qué ser necesariamente objetos con forma de flecha como aparecen en los ejemplos mencionados: los vectores se consideran objetos matemáticos abstractos con propiedades particulares, que en algunos casos pueden visualizarse como flechas.

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